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Notion 公式对齐

参考：

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\begin{aligned}
    a &= bc \\
    {a \over b} &= c
\end{aligned}

SLERP 球面插值

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/538653027，由于参考文章的方法不容易想，这里用正交的思路来记忆。

四元数球面插值的核心，就是通过角度比例插值的方法来实现插值的保范性。如下图所示，我们的目标是寻找到一组合适的插值参数 \([a, b]^T\)，使得 \(r = a \cdot p + b \cdot q \)。

对于这类向量计算，可以通过找正交的角度来简化思考，考虑 \(p\) 的正交单位向量（这里我们假设两个向量之间的角度小于 90 度，图里面大于 90 度的情况放后面讨论）：

由此，我们可以得到 \(r\) 关于 \(p\) 和 \(p_{\perp}\)的关系：

将 \(p_{\perp}\) 的定义带入上述公式可以得到：

由于 \(\sin(a+b)=\sin a\cos b + \cos a \sin b\)，我们有:

由此可以得到插值系数：

当然，这里有两点需要注意：

• 如果夹角极小，此时涉及到除零，需要使用 NLERP （即正规线性插值，在线性插值后通过除以范数来确保长度为 1）来代替 SLERP
• 如果夹角大于 90 度，插值会跑到较长的圆弧上。这个时候，我们只需把其中一个向量取反（因为四元数 \(-q\) 和 \(q\) 代表同一个旋转），就可以得到结果了。

四元数

这个参考文献太神了，推导非常详细，完全不需要我增加多余的内容：
https://github.com/Krasjet/quaternion

李代数 SO(3)的伴随性质

1. 基本定义和记号

1.1 SO(3) 和 so(3)

• SO(3)：3×3 正交矩阵群，满足 \(R^T R = I\) 和 \(\det(R) = 1\)
• so(3)：SO(3) 的李代数，由反对称矩阵组成，\(\text{so}(3) = {X \in \mathbb{R}^{3×3} : X^T = -X}\)

1.2 伴随映射（Adjoint Map）的定义

对于 \(R \in \text{SO}(3)\)，伴随映射 \(\text{Ad}_R: \text{so}(3) \to \text{so}(3)\) 定义为：

其中 \(X \in \text{so}(3)\)。

2. 伴随性质

性质 2.1：伴随映射保持反对称性

命题：如果 \(X \in \text{so}(3)\)，那么 \(\text{Ad}_R(X) \in \text{so}(3)\)

证明： 设 \(Y = \text{Ad}_R(X) = RXR^T\)，需要证明 \(Y^T = -Y\)。

由于 \(X \in \text{so}(3)\)，所以 \(X^T = -X\)，因此：

这证明了 \(\text{Ad}_R(X) \) 仍然是反对称矩阵，即 \(\text{Ad}_R(X) \in \text{so}(3)\)。

性质 2.2：伴随映射是线性映射

命题：对任意 \(X, Y \in \text{so}(3)\) 和标量 \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\)，有 \(\text{Ad}_R(\alpha X + \beta Y) = \alpha\text{Ad}_R(X) + \beta\text{Ad}_R(Y)\)

证明：

性质 2.3：伴随映射保持李括号结构

命题：对任意 \(X, Y \in \text{so}(3)\)，有 \(\text{Ad}_R([X,Y]) = [\text{Ad}_R(X), \text{Ad}_R(Y)]\)，其中 \([X,Y] = XY - YX\) 是李括号。

证明：

这表明伴随映射是李代数同态。

性质 2.4：伴随映射是同构

命题：对任意 \(R \in \text{SO}(3)\)，映射 \(\text{Ad}_R \)是 \(\text{so}(3)\) 上的线性同构。

证明： 对于 \(Y \in \text{so}(3)\)，定义 \(X = R^T Y R\)，则

这表明 \(\text{Ad}_R\) 是满射。

对于单射性，假设\( \text{Ad}_R(X) = 0\)，即 \(RXR^T = 0\)，则 \(X = R^T(RXR^T)R = 0\)

因此 \(\text{Ad}_R\) 是单射。

所以 \(\text{Ad}_R \) 是双射，且其逆映射为_ _\(\text{Ad}_{R^T} = \text{Ad}_{R^{-1}} \checkmark\)

性质 2.5：伴随映射的群同态性

命题：对任意 \(R_1, R_2 \in \text{SO}(3)\)，有\( \text{Ad}_{R_1 R_2} = \text{Ad}_{R_1} \circ \text{Ad}_{R_2}\)

证明： 对任意 \(X \in \text{so}(3)\)：

性质 2.6：向量表示的伴随性质

【重要特例！】：对反对称矩阵 \([v]_×\)（由向量 \(v \in \mathbb{R}^3\) 生成），有 \(\text{Ad}_R([v]_×) = [Rv]_×\)，即 \(R[v]_×R^T = [Rv]_×\)

证明： 设 \([v]_× = \begin{pmatrix} 0 & -v_3 & v_2 \\ v_3 & 0 & -v_1 \\ -v_2 & v_1 & 0 \end{pmatrix}\)

对任意向量 \(u \in \mathbb{R}^3\)，有 \([v]_× u = v \times u\)（叉积）。

因此：

利用 \(R(a \times b) = (Ra) \times (Rb)\)（旋转保持叉积结构），得：

对所有 u 成立，所以： \(\text{Ad}_R([v]_×) = [Rv]_× \quad \checkmark\)

1. 矩阵表示

3.1 伴随表示矩阵

在 so(3) 的标准基 E_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_3 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

下，伴随映射可表示为 3×3 矩阵 \text{Ad}(R)，满足： \text{Ad}(R) \begin{pmatrix} \omega_1 \ \omega_2 \ \omega_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ v_3 \end{pmatrix}

其中 X = \omega_1 E_1 + \omega_2 E_2 + \omega_3 E_3 映射到 \text{Ad}_R(X) = v_1 E_1 + v_2 E_2 + v_3 E_3。

3.2 重要结果

对于 R \in \text{SO}(3)，有 \text{Ad}(R) = R（在相同的矩阵表示下）。

这意味着： R \in \text{SO}(3) \Leftrightarrow \text{Ad}(R) \in \text{SO}(3)

1. 指数映射与伴随

性质 4.1：伴随与指数的交换性

命题：对 R \in \text{SO}(3) 和 X \in \text{so}(3)，有 R \exp(X) R^{-1} = \exp(\text{Ad}_R(X))

证明： \begin{align} R \exp(X) R^{-1} &= R \left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{X^n}{n!}\right) R^{-1}
&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{RX^nR^{-1}}{n!}
&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(RXR^{-1})^n}{n!}
&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\text{Ad}_R(X))^n}{n!}
&= \exp(\text{Ad}_R(X)) \quad \checkmark \end{align}

性质 2.2：伴随映射是线性映射

命题：对任意 $X, Y \in \text{so}(3)$ 和标量 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$，有

证明：

李代数求导，左扰动和右扰动

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/75714471, 《视觉SLAM十四讲》P74-76

在 SLAM（如 SO(3) 和 SE(3)）的优化问题中，由于群元素对常规加法运算不封闭，无法直接套用经典微积分中基于加法的极限来定义导数。以 SO(3) 上空间点 p 的旋转变换 Rp 为例，一般存在三种间接的求导方式：

李代数求导（不常见）

由于对于 \(R\) ，无法定义加法，我们转而计算 \(\phi\) ，其中 \(\exp(\phi^{\wedge})=R\)

[\begin{aligned} \frac{\partial (Rp)}{\partial \phi} &= \lim_{\phi \to 0}\frac{\partial [\exp(\phi ^{\wedge})p]}{\partial \phi} \&= \lim_{\phi \to 0}\frac{\exp((\phi+\Delta \phi)^{\wedge})p-\exp(\phi^{\wedge})p}{\partial \phi} \&= \lim_{\phi \to 0}\frac{\exp((J_l\Delta \phi)^{\wedge})\exp(\phi^{\wedge})p-\exp(\phi^{\wedge})p}{\partial \phi} \&= \lim_{\phi \to 0}\frac{(1+(J_l\Delta \phi)^{\wedge})\exp(\phi^{\wedge})p+\exp(\phi^{\wedge})p}{\partial \phi} \&= \lim_{\phi \to 0}\frac{(J_l\Delta \phi)^{\wedge}\exp(\phi^{\wedge})p}{\partial \phi} \&= \lim_{\phi \to 0}\frac{-(\exp(\phi^{\wedge})p)^{\wedge}(J_l\Delta \phi)}{\partial \phi} \&= -(\exp(\phi^{\wedge})p)^{\wedge}J_l

\end{aligned}]

左扰动模型（Left Perturbation）

将微小扰动映射到李群后，左乘于原李群元素。设李代数微小扰动为 \(\partial \xi\)，则扰动后的状态为 \(\exp(\xi^{\wedge})Rp\)。 关于左扰动的导数定义为：

[\begin{aligned} \frac{\partial (Rp)}{\partial \xi} &= \lim_{\xi \to 0}\frac{\exp(\xi ^{\wedge})Rp-Rp}{\partial \xi}\&= \lim_{\xi \to 0}\frac{(I+\Delta \xi ^{\wedge})Rp-Rp}{\partial \xi} \&=\lim_{\xi \to 0}\frac{\Delta \xi^{\wedge}Rp}{\partial \xi} \&= \lim_{\xi \to 0}\frac{-(Rp)^{\wedge}\Delta \xi}{\partial \xi} \&=-(Rp)^{\wedge}

\end{aligned}]

在几何与物理意义上，左扰动等价于在全局坐标系（固定参考系）下对当前位姿施加一个微小的刚体变换。

右扰动模型（Right Perturbation）

将微小扰动映射到李群后，右乘于原李群元素，即扰动后的状态为 Texp(δξ∧)。此时目标函数关于右扰动的导数定义为：

几何意义上，右扰动等价于在局部坐标系（如机器人的当前载体坐标系）下对位姿施加微小变换。

explict

参考：https://www.reddit.com/r/cpp/comments/1hf4z7p/i_am_confused_as_to_when_to_use_explicit_in_a/

C++中的 explict关键字用于修饰类构造函数（或 C++11 起的转换运算符），它显式声明该构造函数不能用于隐式类型转换。

一般来说，对于任何单参数构造函数，只要开发者没有明确采用隐式转换的需求，就要使用 explict 关键字。

<未完待续>